binómio de Newton

O binómio de Newton é uma expressão que permite calcular o desenvolvimento de (a + b)ⁿ, sendo a + b um binómio e n um número natural qualquer.
A expressão que permite escrever o desenvolvimento de qualquer potência de uma expressão algébrica formada por dois termos (binómio) foi dada a conhecer pelo físico e matemático inglês Isaac Newton em 1676 e tem a forma:

Sendo n um número natural, esta expressão tem n + 1 termos.
De notar que, apesar do aspeto relativamente complexo da expressão, ela contém uma série de regularidades que a tornam simples de memorizar. Em primeiro lugar, em cada termo aparecem potências decrescentes de a (aⁿ, a^n-1, a^n-2,..., a, a⁰ = 1) e potências crescentes de b (b⁰, b,..., b^n-2, b^n-1, bⁿ) de tal forma que a soma dos expoentes de a e de b é sempre igual a n. Em segundo lugar, os coeficientes que aparecem a multiplicar pelas referidas potências de a e de b correspondem às combinações de n, k a k, desde C₀ⁿ até C_nⁿ.
Para a determinação das combinações de n, k a k , utiliza-se a expressão:

em que n! (que se lê: "n fatorial" ou "fatorial de n") se determina multiplicando n por todos os números naturais inferiores a ele (n!=n ´ (n-1) ´ ... ´ 3 ´ 2 ´ 1). De forma idêntica se determinam k! e (n-k)!
Para obter as combinações de n referidas pode recorrer-se ao triângulo de Pascal que é formado precisamente por todas as combinações de n e que, atendendo às suas características, é de muito fácil utilização. De facto, para cada valor de n , temos:

em que cada linha do triângulo corresponde, sucessivamente, a

Assim, para um determinado valor de n, basta selecionar a linha correspondente a esse n no triângulo de Pascal para encontrar todos os coeficientes do binómio de Newton.


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