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leis de Morgan

Da autoria do ilustre matemático inglês Augustus De Morgan (1806-1871), podemos separá-las em Primeiras Leis de Morgan e Segundas Leis de Morgan.
As primeiras podem ser indicadas de várias formas, dependendo do contexto a estudar. Podemos utilizá-las em operações lógicas sobre proposições ou em operações sobre conjuntos.

Primeiras Leis de Morgan:
Sendo p e q duas proposições e ~, ∧ e ∨, respetivamente, os símbolos das operações lógicas negação, conjunção e disjunção, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por:
1. ~(pq) = ~p ∨ ~q cujo significado é:
"negar a simultaneidade de p e q é afirmar pelo menos não p ou não q".
2. ~(pq) = ~p ∧ ~q cujo significado é:
"negar a ocorrência de pelo menos p ou q é afirmar nem p nem q".
Mas, se considerarmos A e B dois conjuntos e ∩, ∪, , respetivamente, os símbolos da interseção, reunião, complementar de A e complementar de B, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por:

cujo significado é:
"o complementar da interseção de dois conjuntos é igual à reunião dos complementares dos conjuntos iniciais"

cujo significado é:
"o complementar da reunião de dois conjuntos é igual à interseção dos complementares dos conjuntos iniciais".

Segundas Leis de Morgan:
As Segundas Leis de Morgan permitem-nos efetuar a negação de proposições com quantificadores (universais e existenciais).
Dada a expressão proposicional (ou condição) p(x), em que xA, conjunto de números reais, a expressão ∀xA: p (x) lê-se: "para todo o elemento de A, verifica-se p", ou seja, qualquer que seja o valor de A pelo qual substituímos x, p(x) transforma-se numa proposição verdadeira.
Por outro lado, a expressão ∃xA: p(x) lê-se: "existe pelo menos um elemento de A que verifica p", ou seja, significa que existe pelo menos um valor da variável x, para a qual a p(x) se transforma numa proposição verdadeira.
Neguemos ambas:

As negações destas duas proposições constituem então as Segundas Leis de Morgan.

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