ele mantém ou ele mantem?

A forma correta é mantém.

Os verbos derivados de ter, como manter, conter, deter ou obter, têm acento gráfico na última sílaba da terceira pessoa do presente do indicativo, quer no singular quer no plural:

    Ele mantém a loja aberta. (acento agudo)

    Eles mantêm os mesmos horários. (acento circunflexo)

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