pôr em xeque ou pôr em cheque?

A construção correta é «pôr em xeque».

Pôr em xeque significa «expor a perigo, pôr em má situação; pôr em dúvida a importância ou o valor de algo ou alguém» e relaciona-se com o xeque, uma posição, no jogo de xadrez, em que uma peça pode tomar o rei:

    O objetivo era pôr em xeque todo o projeto.

Cheque é um «título de crédito que enuncia uma ordem de pagamento da soma nele inscrita»:

    Passei um cheque na loja.