binómio de Newton

O binómio de Newton é uma expressão que permite calcular o desenvolvimento de (a + b) ⁿ, sendo a + b um binómio e n um número natural qualquer.
A expressão que permite escrever o desenvolvimento de qualquer potência de uma expressão algébrica formada por dois termos (binómio) foi dada a conhecer pelo físico e matemático inglês Isaac Newton em 1676 e tem a forma:

 

                      

Sendo n um número natural, esta expressão tem n + 1 termos.
De notar que, apesar do aspeto relativamente complexo da expressão, ela contém uma série de regularidades que a tornam simples de memorizar. Em primeiro lugar, em cada termo aparecem potências decrescentes de a (a ⁿ , a ^n-1 , a ^n-2 ,..., a, a ⁰ = 1) e potências crescentes de b (b ⁰ , b,..., b ^n-2 , b ^n-1 , b ⁿ) de tal forma que a soma dos expoentes de a e de b é sempre igual a n. Em segundo lugar, os coeficientes que aparecem a multiplicar pelas referidas potências de a e de b correspondem às combinações de n, k a k, desde C ₀ ⁿ até C _n ⁿ.

Para a determinação das combinações de n, k a k, utiliza-se a expressão:

em que n! (que se lê: " n fatorial" ou "fatorial de n ") se determina multiplicando n por todos os números naturais inferiores a ele (n != n ´ (n -1) ´ ... ´ 3 ´ 2 ´ 1). De forma idêntica se determinam k! e (n-k) !
Para obter as combinações de n referidas pode recorrer-se ao triângulo de Pascal que é formado precisamente por todas as combinações de n e que, atendendo às suas características, é de muito fácil utilização. De facto, para cada valor de n, temos:



em que cada linha do triângulo corresponde, sucessivamente, a



Assim, para um determinado valor de n, basta selecionar a linha correspondente a esse n no triângulo de Pascal para encontrar todos os coeficientes do binómio de Newton.