combinações

As combinações de n elementos tomados p a p são dadas pelo número de subconjuntos com p elementos que podemos constituir a partir de um conjunto com n elementos, e em que os novos subconjuntos diferem entre si apenas pela natureza dos elementos que as constituem, não podendo estes ser repetidos nenhuma vez. Por outras palavras, as combinações de n elementos tomados p a p representam o número de subconjuntos com p elementos que se podem formar a partir dos n elementos de um conjunto dado. Tendo em conta que os elementos escolhidos não se podem repetir, poderemos formar subconjuntos constituídos por p elementos, desde que os p elementos escolhidos não ultrapassem os n elementos existentes no conjunto inicial. Deste modo, se, por exemplo, tivermos um conjunto com 5 elementos, podemos formar combinações de 5 elementos tomados 4 a 4, ou mesmo 5 a 5, mas não mais, pois não podemos escolher mais elementos do que aqueles que existem, sem repetirmos nenhum elemento.
Nota: também existem combinações com repetição dos elementos escolhidos mas não fazem parte dos programas curriculares do Ensino Secundário. Por tal razão, é usual empregar a designação apenas de "combinações" para as combinações sem repetição de elementos.
Simbolicamente, o número total de combinações que é possível formar com p elementos, escolhidos de entre os n elementos dados, é dado por .
Também é usual representar as combinações de n elementos tomados p a p por .
Vejamos como se efetua o cálculo de ⁿCp, através de um exemplo:
De quantas maneiras diferentes é possível escolher um grupo de 3 alunos de uma turma constituída por 20 alunos?
Para determinarmos quantas escolhas diferentes de 3 alunos podemos encontrar, usemos o conceito de arranjos sem repetição. Temos então arranjos simples de 20 alunos escolhidos em grupos de 3, que é representado por ²⁰A₃. Mas, neste valor estão incluídas as permutações dos 3 alunos escolhidos por cada um dos diferentes pares de escolhas. Assim, há que dividir os arranjos simples de 20 alunos escolhidos em grupos de 3 pelo número de permutações desses 3 alunos escolhidos, obtendo então apenas o número de diferentes subconjuntos de 3 alunos, a partir da turma de 20 alunos, ou seja, simbolicamente,

Generalizando, temos

E, simplificando, temos

Esta expressão permite-nos calcular rapidamente as combinações que é possível formar com p elementos, escolhidos de entre os n elementos dados.