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função inversa
Se
é uma função injetiva, qualquer que seja o valor de y do seu contradomínio existe um e um só valor de x do domínio de
que tem y como imagem. Assim, a correspondência entre o contradomínio de
e o domínio de
, que a cada y do contradomínio de
faz corresponder o x do domínio de
, é unívoca, ou seja, é uma função. A esta nova função dá-se o nome de função inversa de
, e representa-se por
-1. Simbolicamente,


Nota:
representa o domínio de
e o
representa o contradomínio de
.
Sendo
-1 a função inversa da função
, o
=
e, reciprocamente,
=
.
A composição de uma função com a sua respetiva inversa (caso exista) é a função identidade. Com efeito,
para todo o x ∈
bem como
para todo o x ∈
.
Assim, para determinar o contradomínio de uma dada função, basta determinar o domínio da sua respetiva função inversa (caso exista).
Exemplo:
Dada a função real de variável real
, caracterizada pela expressão
e
=
\
caracterize a função
-1.
Seja então
e explicitemos agora y como função de x, trocando assim os "papéis" das variáveis (y passa de imagem a objeto e x passa de objeto a imagem):

Nota: Repare que x é agora imagem e y é agora objeto. Convém trocá-los de funções devido ao hábito na sua utilização.
Então a função inversa de
é caracterizada por
e em que
=
\
.
Relativamente ao gráfico de uma função inversa
-1 de uma função dada
, podemos afirmar que é simétrico do gráfico de
, em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, a reta de equação y = x. Com efeito, basta ter em conta que, ao trocarmos o objeto pela imagem e vice-versa, as coordenadas dos pontos do gráfico de
passam de (x, y) para (y, x) como coordenadas do gráfico de
-1.
Exemplo:
Seja
= x2 para x ≥ 0 então
-1 (x) =
.
Graficamente, teremos

Nota:
Sendo
A composição de uma função com a sua respetiva inversa (caso exista) é a função identidade. Com efeito,
Assim, para determinar o contradomínio de uma dada função, basta determinar o domínio da sua respetiva função inversa (caso exista).
Exemplo:
Dada a função real de variável real
Seja então
Nota: Repare que x é agora imagem e y é agora objeto. Convém trocá-los de funções devido ao hábito na sua utilização.
Então a função inversa de
Relativamente ao gráfico de uma função inversa
Exemplo:
Seja
Graficamente, teremos
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Como referenciar
Porto Editora – função inversa na Infopédia [em linha]. Porto: Porto Editora. [consult. 2023-06-10 02:28:10]. Disponível em
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