álgebra

Etimologicamente, a palavra "álgebra" é uma variante latina da palavra árabe "al-jabr" usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdade entre 813 e 833 d. C., pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (responsável também pela introdução do sistema decimal e dos algarismos indianos no Ocidente. Esta publicação passou rapidamente a ser citada, abreviadamente, como Al-jabr. Uma possível tradução literal do título desta obra será "Ciência da restauração (ou reunião) e redução (ou cancelamento)" mas, matematicamente, Al-jabr não pretende ser mais do que a "ciência das equações". Por outro lado, a designação Al-jabr significava originalmente: "a arte de reunir ossos quebrados ou deslocados". Um algebrista era assim um cirurgião especializado em remendar ossos quebrados ou luxados, termo este referido em obras como D. Quixote, de Cervantes. A partir do século XI, é traduzida para o latim como "álgebra" e é amplamente difundida por toda a Europa.
Na obra de al Khowarizmi, duas palavras ganharam especial relevo: jabr (colocar no lugar) e muqabalah (cancelar), que designavam os dois procedimentos fundamentais na resolução de equações. O primeiro consistia na "transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação"; o segundo, no "cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação".
Seja, então, um problema em que os dados podem ser postos sob a forma:

Al Khowarizmi procedia do seguinte modo:
(por al-jabr)
Dividia por 2 e reduzia os termos semelhantes:
(por al-muqabalah)
E o problema era reduzido assim a uma forma canónica.
No entanto, é Diofante (por muitos considerado o verdadeiro "pai" da álgebra), matemático grego que vive em Alexandria no século IV d. C., o primeiro a usar sistematicamente símbolos para representar as incógnitas. Diofante é pioneiro na solução das equações indeterminadas, também chamadas diofantinas, aquelas em que as informações não são suficientes para se obter uma resposta exata mas permitem estabelecer uma relação entre os termos da equação.
Depois de Diofante, no século IV d. C., o passo seguinte no avanço significativo da álgebra foi dado com a descoberta das soluções das equações de 3.º e 4.º graus, no século XVI. Scipione del Ferro e Nicola Fontana, também chamado de Tartaglia, são os primeiros a resolver a equação do 3.º grau, e Ludovico Ferrari resolve a de 4.º grau. Seus trabalhos são reunidos no livro Ars Magna, de Girolamo Cardano, em 1545.
Cardano é o primeiro matemático a aceitar plenamente a existência de números negativos como resultado válido para equações algébricas. Até então, os matemáticos não conseguem imaginar alguma coisa menor do que zero e recusam-se aceitar as soluções negativas de uma equação de 2.º grau. Também não têm a certeza sobre a quantidade possível de soluções para as equações. Esta questão só será solucionada definitivamente no final do século XVIII, quando Gauss demonstra seu teorema geral da álgebra: cada equação algébrica terá tantas soluções quantas forem as unidades de seu grau. Uma equação de 2.º grau terá duas soluções, a de 3.º grau terá três soluções, a de 4.º grau terá quatro e assim por diante, mas esses resultados serão sempre números complexos
No início da Era Moderna, os matemáticos aperfeiçoam as notações algébricas, aumentam a precisão dos cálculos e obtêm um grande progresso na álgebra. Passam a usar letras para representar as incógnitas, adotam os símbolos de + para adição, - para subtração e o sinal = para igualar os termos das equações. François Viète (1540-1603), advogado e matemático amador, é um dos que mais se destacam no período. Adota vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e de 4.º grau e trigonometria para as equações de graus mais elevados. Viète, que também simplifica as relações trigonométricas, pode ser considerado um precursor da geometria analítica. As notações atualmente utilizadas nas equações algébricas - a, b, c, para os números conhecidos, e x, y, z para as incógnitas - são estabelecidas por René Descartes na primeira metade do século XVII.
Ainda que originalmente "álgebra" se refira a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, pois o conjunto de noções que se desenvolveram a partir do estudo de estruturas como os grupos, anéis e corpos (introduzidos por Évariste Galois), devidamente elaborado pelos ensinamentos da lógica simbólica, formou o que hoje se denomina Álgebra Abstrata ou Moderna.