indeterminações

Se aplicarmos as regras operatórias sobre limites para a determinação de um limite de uma função, somos por vezes confrontados com o aparecimento de expressões que conjugam infinitésimos com infinitamente grandes, infinitésimos com infinitésimos ou infinitamente grandes com infinitamente grandes, de tal forma que não podemos aferir de imediato o valor desse limite, caso exista. A essas expressões designamos por indeterminações, e devemos proceder ao seu levantamento que consiste basicamente em redefinir o próprio limite de modo a eliminar pelo menos um infinitésimo ou um infinitamente grande, conforme os casos.
Os tipos de indeterminações estudados no atual Ensino Secundário são:

- Indeterminações do tipo
Seja, por exemplo, o limite em que, ao aplicarmos as regras operatórias dos limites, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo . Tal situação decorre do facto de tanto a expressão do numerador como a do denominador se anularem para x = 2. Coloquemos então em evidência os fatores que se anulam:

Como o domínio da expressão do limite é \, o valor de x é sempre diferente de 2, logo:


- Indeterminações do tipo
Seja, por exemplo, o limite em que, ao aplicarmos as regras operatórias dos limites, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo . Tal situação decorre do facto de tanto a expressão do numerador como a do denominador corresponderem a infinitamente grandes. Coloquemos então em evidência os monómios de maior grau:

É de notar que as expressões a vermelho são infinitésimos (tendem para zero quando x tende para infinito), pelo que


- Indeterminações do tipo ∞ - ∞
Seja, por exemplo, o limite , com x > 0, em que ao aplicarmos as regras operatórias dos limites, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo ∞ - ∞. Tal situação decorre do facto de tanto a expressão irracional como a expressão irracional corresponderem a infinitamente grandes. Um processo para levantar este tipo de indeterminações é multiplicar e dividir a expressão - pela sua expressão conjugada, + , pelo que

Ou seja,


- Indeterminações do tipo 0 x ∞
Neste tipo de indeterminações podemos transformar sempre um produto num quociente, passando assim a ter uma indeterminação do tipo ou do tipo .
Seja, por exemplo, o limite , com x > 0, em que ao aplicarmos as regras operatórias dos limites, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo 0 x ∞. Tal situação decorre do facto de a expressão irracional corresponder a um infinitésimo e da expressão (x² + 1) corresponder a um infinitamente grande, quando x tende para infinito. Mas, pelo que passamos assim a ter uma indeterminação do tipo . Mas, por outro lado,

Ora, se tivermos em conta que x > 0, vem