leis de Morgan

Da autoria do ilustre matemático inglês Augustus De Morgan (1806-1871), podemos separá-las em Primeiras Leis de Morgan e Segundas Leis de Morgan.
As primeiras podem ser indicadas de várias formas, dependendo do contexto a estudar. Podemos utilizá-las em operações lógicas sobre proposições ou em operações sobre conjuntos.

Primeiras Leis de Morgan:
Sendo p e q duas proposições e ~, ¿ e ¿, respetivamente, os símbolos das operações lógicas negação, conjunção e disjunção, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por:

1. ~(p ¿ q) = ~p ¿ ~q cujo significado é:

"negar a simultaneidade de p e q é afirmar pelo menos não p ou não q".

2. ~(p ¿ q) = ~p ¿ ~q cujo significado é:

"negar a ocorrência de pelo menos p ou q é afirmar nem p nem q".

Mas, se considerarmos A e B dois conjuntos e n, ¿, , respetivamente, os símbolos da interseção, reunião, complementar de A e complementar de B, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por:



cujo significado é:

"o complementar da interseção de dois conjuntos é igual à reunião dos complementares dos conjuntos iniciais"



cujo significado é:

"o complementar da reunião de dois conjuntos é igual à interseção dos complementares dos conjuntos iniciais".


Segundas Leis de Morgan:

As Segundas Leis de Morgan permitem-nos efetuar a negação de proposições com quantificadores (universais e existenciais).

Dada a expressão proposicional (ou condição) p(x), em que x ¿ A, conjunto de números reais, a expressão ¿x ¿ A: p (x) lê-se: "para todo o elemento de A, verifica-se p", ou seja, qualquer que seja o valor de A pelo qual substituímos x, p(x) transforma-se numa proposição verdadeira.

Por outro lado, a expressão ¿x ¿ A: p(x) lê-se: "existe pelo menos um elemento de A que verifica p", ou seja, significa que existe pelo menos um valor da variável x, para a qual a p(x) se transforma numa proposição verdadeira.

Neguemos ambas:



As negações destas duas proposições constituem então as Segundas Leis de Morgan.