limite

Dizer que "o limite de f(x) quando x tende para a é L" significa que o valor de f(x) se aproxima do valor de L tanto quanto se queira. Basta considerar um valor de x suficientemente próximo de a. Recorrendo à linguagem específica da Matemática, pode escrever-se uma definição de limite de uma função f da seguinte forma:
Seja f uma função definida num subconjunto X do conjunto dos números reais e a um ponto aderente a X (isto é, não exterior a X). Diz-se que o número real L é limite de f no ponto a, ou quando x tende para a se, para cada número d > 0, existe um número e > 0 tal que se tem f(x) - L < 0, para todos os valores de x pertencentes a X tais que x - a < e.
De notar que esta formalização deixa de ter sentido quando a e/ou L são infinitos.
Refira-se ainda que na definição de limite há autores que optam por considerar que o valor de x ao tender para a pode assumir o valor a enquanto que outros consideram para x apenas os valores tendentes para a mas diferentes de a.
Sendo assim, há situações que são contraditórias quanto à existência de limite, dependendo da opção que se toma de acordo com o indicado no parágrafo anterior. Exemplo disso é o que se mostra na figura seguinte,



O limite da função quando x tende para a é L se considerarmos para x apenas valores diferentes de a mas, se considerarmos que x pode assumir o valor a, somos levados a concluir que a função não tem limite no ponto a, uma vez que o valor da função nesse ponto (f(a)) é diferente de L.
Em muitas situações, como por exemplo no estudo da continuidade de funções, pode falar-se em limite de uma função à esquerda no ponto a (ou quando x tende para a por valores menores que a) e em limite da função à direita no ponto a (ou quando x tende para a por valores maiores que a). Simbolicamente, estes limites, designados por limites laterais, representam-se, respetivamente, por