sistemas de equações

Um sistema de equações é uma conjunção de duas ou mais equações com duas ou mais incógnitas. As soluções de um sistema de equações são os valores das incógnitas que satisfazem, em simultâneo, todas as equações do sistema.
Um sistema de equações pode ter ou não solução. Quando não admite qualquer solução diz-se que é um sistema impossível. Por exemplo, o sistema



é claramente impossível uma vez que a soma de dois números x e y não pode ser, simultaneamente, igual a 2 e a 3. As duas equações que formam este sistema dizem-se incompatíveis, nenhuma solução as verifica em simultâneo.
Não sendo impossível, um sistema pode ter soluções em número finito ou infinito. No primeiro caso diz-se que se trata de um sistema possível e determinado. É o que acontece com o sistema



que admite uma única solução.
Tendo infinitas soluções, o sistema diz-se possível e indeterminado. Esta situação pode verificar-se quando o sistema é formado por duas equações equivalentes (por exemplo x + 2y = 3 e 2x + 4y = 6 são equações equivalentes dado que são múltiplas uma da outra e, dessa forma, qualquer solução de uma é, também, solução da outra) mas não só. Por exemplo, o sistema



é possível e indeterminado. Uma das suas soluções é x = 1; y = 1; z = 1, mas também x = 3; y = -1; z = 1 é solução, etc. Pode verificar-se que todos os valores de x, y e z tais que z = 1 e x + y = 2 são solução do sistema indicado, donde se conclui que ele tem infinitas soluções.
O método de resolução de sistemas consiste em eliminar uma das incógnitas numa das equações para assim conseguir reduzir o número de incógnitas e obter uma equação que se possa resolver. A partir do conhecimento do valor de uma incógnita consegue-se, sucessivamente, determinar as restantes.
Um dos métodos de resolução de sistemas mais conhecidos é o método de resolução por substituição que para proceder a esta eliminação consiste em separar numa das equações a incógnita que se quer eliminar e substituir o seu valor nas outras equações do sistema. Por exemplo, para resolver o sistema



podemos começar por separar x na primeira equação (diz-se que resolvemos a equação em ordem a x). Passamos, assim, a ter x = 3 - y.
Substituindo o valor anterior na segunda equação esta transforma-se em

4(3 - y) - 3y = 5, ou seja,

12 - 4y - 3y = 5 ou, simplificando,

12 - 7y = 5 e então

-7y = 5 - 12 = -7 e, finalmente,



Substituindo, agora, o valor conhecido de y na outra equação, vem x = 3 - 1 = 2, logo, a solução do sistema é x = 2 ; y = 1
A resolução de sistemas tem uma grande utilidade prática uma vez que permite resolver problemas em que seja necessário que se verifiquem várias condições em simultâneo.