sucessão

Chama-se sucessão a um conjunto de números dados de forma ordenada de modo que se possa falar em 1.º termo, 2.º termo, etc.
De uma forma mais rigorosa dir-se-á que é uma aplicação u de em A, onde é o conjunto dos números naturais (= {1, 2, 3, 4, ...}) e A é um conjunto qualquer.
Tem particular importância o estudo de sucessões em que o conjunto A referido anteriormente é o chamado conjunto dos números reais. Quando nada é dito em contrário considera-se sempre que se está na presença de uma sucessão deste tipo.
Para representar o elemento do conjunto A que corresponde a cada elemento do conjunto usa-se a notação u_n. Ao símbolo u_n, em que n pode ser, sucessivamente, 1, 2, 3, 4, ... dá-se o nome de termo geral da sucessão. A sucessão cujo termo geral é u_n representa-se por (u_n).
Para definir uma sucessão é muito útil empregar um procedimento que nos permita obter um qualquer termo da mesma sem ter de explicitar toda a sucessão. Um método muito utilizado consiste em indicar o termo geral na forma de uma expressão matemática a partir da qual se pode obter qualquer termo. Por exemplo, o termo geral da sucessão dos números ímpares 1, 3, 5, 7, ... será un = 2n - 1 visto que ao atribuir a n os valores naturais 1, 2, 3, 4, ... se obtém, sucessivamente, ; etc.
Outra forma de determinar os termos de uma sucessão é através de uma definição por recorrência em que cada termo se pode obter de alguma forma através do conhecimento de outros termos. Por exemplo, a sucessão dos números ímpares pode, também, ser definida da seguinte forma:

Neste caso é indicado o valor do 1.º termo. O 2.º termo, u2, será dado por , o 3.º termo será dado por e assim sucessivamente.
Esta sucessão enquadra-se num tipo a que se dá o nome de progressões aritméticas. Numa progressão aritmética, a diferença entre um qualquer dos seus termos e o termo imediatamente anterior é um valor constante a que se chama razão da progressão e se representa habitualmente pela letra r. No nosso exemplo, cada termo é obtido adicionando 2 unidades ao termo que o precede, donde r = 2.
Outros tipos de sucessões muito comuns são as chamadas progressões geométricas. Nestas é o quociente entre cada termo e o termo imediatamente anterior que é uma constante. Por exemplo, a sucessão 1, 2, 4, 8, 16, ... é uma progressão geométrica uma vez que 2:1 = 4:2 = 8:4 = 16:8 = 2. Ao valor desse quociente chama-se razão da progressão geométrica e também costuma representar-se por r. No exemplo dado r = 2.
De notar que dentro do conjunto das sucessões é possível definir operações como a adição, a multiplicação, a divisão e a potência.