teorema da derivabilidade e continuidade

Toda a função real de variável real com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Vejamos a demonstração deste teorema:
Suponhamos que a função tem derivada finita no ponto de abcissa a. Então, como
com xa e, aplicando as propriedades operatórias dos limites, teremos
Ora, se tivermos em conta que
e que , então será
, ou seja,

Pelo que a função é contínua no ponto de abcissa a. Logo, se a função tem derivada finita no ponto de abcissa a, então é contínua nesse ponto.
Nota: O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Com efeito, existem funções contínuas num ponto que não têm, nesse ponto, derivada finita.
Como referenciar: teorema da derivabilidade e continuidade in Infopédia [em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2020. [consult. 2020-10-01 17:06:50]. Disponível na Internet: