teorema da derivabilidade e continuidade
Toda a função real de variável real com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Vejamos a demonstração deste teorema:
Suponhamos que a função
tem derivada finita no ponto de abcissa a. Então, como
com x ≠ a e, aplicando as propriedades operatórias dos limites, teremos
Ora, se tivermos em conta que
e que 
, então será
, ou seja,
Pelo que a função
é contínua no ponto de abcissa a. Logo, se a função 
tem derivada finita no ponto de abcissa a, então é contínua nesse ponto.
Nota: O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Com efeito, existem funções contínuas num ponto que não têm, nesse ponto, derivada finita.
Suponhamos que a função
tem derivada finita no ponto de abcissa a. Então, como com x ≠ a e, aplicando as propriedades operatórias dos limites, teremos
Ora, se tivermos em conta que
e que , então será, ou seja, Pelo que a função
é contínua no ponto de abcissa a. Logo, se a função tem derivada finita no ponto de abcissa a, então é contínua nesse ponto.Nota: O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Com efeito, existem funções contínuas num ponto que não têm, nesse ponto, derivada finita.
Como referenciar:
teorema da derivabilidade e continuidade in Artigos de apoio Infopédia [em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2020. [consult. 2020-01-26 21:27:25]. Disponível na Internet:
