teorema de Bolzano-Cauchy

Designado também por Teorema dos Valores Intermédios, é um teorema com grande significado na determinação de valores específicos, nomeadamente zeros, de certas funções reais de variável real. Este teorema foi enunciado pela primeira vez em 1817, por Bernard Bolzano (1781-1848), um sacerdote, matemático e filósofo, nascido em Praga. É-lhe também por vezes associado um coautor de nome Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático e físico francês, discípulo de matemáticos conterrâneos como Pierre Simon Laplace e Joseph Louis de Lagrange.
O referido teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
"Se é uma função contínua num intervalo fechado , e k um número real compreendido entre e , então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = k ".

Como exemplo esclarecedor, consideremos é uma função contínua num intervalo fechado . Se traçarmos uma reta horizontal y = k, em que , esta intersetará o gráfico de em pelo menos um ponto, neste caso de coordenadas (c, k).
No caso particular de k = 0, a reta será y = 0, ou seja, o eixo Ox, pelo que cada c corresponderá a um zero de . Por isso mesmo, este teorema tem especial importância na localização de zeros de determinadas funções (principalmente funções em que não é possível obter os seus zeros por meros processos algébricos), através de um seu corolário, que a seguir se enuncia:
"Se é uma função contínua num intervalo fechado e e têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = 0", ou de outra forma, "se é uma função contínua num intervalo fechado e x < 0, então existe pelo menos um zero de num intervalo aberto ".