arranjos completos (com repetição)

Um arranjo completo de n elementos tomados p a p é dado pelo número de sequências com p elementos que podemos constituir a partir de um conjunto com n elementos, e em que as sequências diferem entre si quer pela ordem, quer pela natureza dos elementos que as constituem, podendo estes serem ou não repetidos uma ou mais vezes.
Tendo em conta que os elementos escolhidos se podem repetir, poderemos formar sequências constituídas por p elementos, sendo que os p elementos escolhidos podem ser mais que os n elementos existentes no conjunto inicial, ou seja, se, por exemplo, tivermos um conjunto com 5 elementos, podemos formar arranjos completos de 5 elementos tomados 6 a 6 (claro que nestes casos tem de haver forçosamente a repetição de pelo menos um dos 5 elementos).
Simbolicamente, o número total de arranjos com repetição que é possível formar com p elementos, escolhidos de entre os n elementos dados, é dado por .
Vejamos como se efetua o cálculo de , através de um exemplo:
Num determinado país, as matrículas dos automóveis são formadas por 4 letras do alfabeto (de 26 letras). Quantas matrículas distintas são possíveis arranjar desta forma?
Observemos que é possível haver matrículas como: "AAAA" ou "YYWW". Mas devemos também ter em conta que as matrículas "ABCD" e "DCBA" são diferentes, apesar de constituídas pelos mesmos elementos. Temos assim de calcular os arranjos completos .
Para a primeira letra da matrícula temos 26 hipóteses; para a segunda letra, temos 26 hipóteses por cada uma das 26 primeiras; para a terceira letra, temos 26 hipóteses por cada uma das 26 x 26 hipóteses anteriores; para a quarta letra, temos 26 hipóteses por cada uma das 26 x 26 x 26 hipóteses anteriores, o que perfaz o total de 26 x 26 x 26 x 26 = 26⁴ hipóteses.
Assim, podemos concluir que . Ou, generalizando, .
Noutro exemplo, podemos perguntar: quantos resultados diferentes existem num teste com dez perguntas de verdadeiro ou falso?
Apesar de para cada pergunta só existirem dois tipos de resposta, verdadeiro (V) ou falso (F), esta pode, naturalmente, ser repetida várias vezes. E claro que, responder "SSSSSFFFFF" é diferente de responder "FFFFFSSSSS". Assim, estamos diante de arranjos completos de 2 elementos tomados 10 a 10, ou seja, simbolicamente, .