arranjos simples (sem repetição)

Um arranjo simples de n elementos tomados p a p é dado pelo número de sequências com p elementos que podemos constituir a partir de um conjunto com n elementos, e em que as sequências diferem entre si quer pela ordem, quer pela natureza dos elementos que as constituem, não podendo estes serem repetidos nenhuma vez.

Tendo em conta que os elementos escolhidos não se podem repetir, poderemos formar sequências constituídas por p elementos, sendo que os p elementos escolhidos não podem ultrapassar os n elementos existentes no conjunto inicial, ou seja, se, por exemplo, tivermos um conjunto com 5 elementos, podemos formar arranjos sem repetição de 5 elementos tomados 4 a 4, ou mesmo 5 a 5 mas não mais pois não podemos escolher mais elementos do que aqueles que existem, sem repetirmos nenhum elemento.

Simbolicamente, o número total de arranjos sem repetição que é possível formar com p elementos, escolhidos de entre os n elementos dados, é dado por .
Vejamos como se efetua o cálculo de ⁿAp, através de um exemplo:
Uma empresa decidiu oferecer 5 dias de férias, um a cada um de 5 funcionários sorteados de um total de 15 pertencentes a essa empresa. Os 5 dias correspondem aos 5 dias úteis da semana: um dos sorteados fica com a segunda-feira, outro com a terça-feira e por diante, até sexta-feira. De quantas maneiras distintas é possível sortear estes 5 dias úteis pelos 15 funcionários da empresa, sendo atribuído um dia da semana a cada funcionário premiado?

Comecemos por ver como podemos atribuir cada um dos 5 dias da semana. Para a atribuição da segunda-feira existem 15 funcionários. É atribuída a um deles. Por cada uma destas 15 possibilidades, atribuamos agora a terça-feira. Como um dos funcionários já tem a segunda-feira, restam agora 14 funcionários disponíveis para terça-feira. Atribuamos agora a quarta-feira. Por cada um dos 15 x 14 funcionários escolhidos para segunda e terça-feira, temos 13 funcionários disponíveis para quarta-feira. Simplificando, para quinta-feira teremos 12 funcionários disponíveis por cada uma das 15 x 14 x 13escolhas dos dias anteriores e, finalmente, os 5 dias úteis da semana, poderão ser sorteados pelos 15 funcionários de 15 x 14 x 13 x 12 x 11 maneiras distintas. Este valor corresponde a arranjos simples de 15 elementos tomados 5 a 5, ou seja, simbolicamente, ¹⁵A₅ = 15 x 14 x 13 x 12 x 11.

Generalizando, temos
com
Se na expressão anterior dividirmos e multiplicarmos o segundo membro da igualdade por (n - p)!, vem

E tendo em conta a definição de fatorial de um número natural, vem
com
Esta expressão permite-nos calcular rapidamente os arranjos sem repetição que é possível formar com p elementos, escolhidos de entre os n elementos dados.