fórmulas de Moivre

Abraham de Moivre (1667-1754), matemático francês erradicado em Inglaterra, que se notabilizou nas áreas da Geometria Analítica, na Trigonometria e na Teoria das Probabilidades, apresentou, em 1739, um processo de determinação das raízes de índice n de um qualquer número complexo. Antes, em 1730, apresentou num seu trabalho de estudo intitulado "Miscellanea Analytica" as seguintes fórmulas que são conhecidas pelo seu nome:
Fórmula de Moivre da potenciação
Esta fórmula permite-nos determinar a potência de expoente natural de um número complexo, não nulo, escrito na forma trigonométrica.
Sendo z = ρ cis θ em que ρ é o módulo e θ um argumento do número complexo z (não nulo), então a fórmula de Moivre da potenciação é escrita da seguinte forma:
zⁿ = ρⁿ cis(n θ;) com n ∈ .
A fórmula de Moivre, enunciada apenas para expoentes naturais, pode prolongar-se ao conjunto dos números inteiros. Se z ≠ 0 e n ∈ , por definição, temos que .
Ora, sendo z = ρ cisθ, vem que .
Pelo que .
Também é aplicável quando n = 0, pelo que, generalizando, vem
Se z = ρ cisθ (z ≠ 0), então zⁿ = ρⁿ cis(nθ;) com n ∈ .
Fórmula de Moivre da radiciação
Esta fórmula permite-nos determinar as n raízes de índice n de um número complexo, não nulo, escrito na forma trigonométrica (sendo n um número natural).
Sendo zⁿ = ρ cisθ em que ρ é o módulo e θ um argumento do número complexo zⁿ (não nulo), então a fórmula de Moivre da radiciação é escrita da seguinte forma:

Em que zk é a k-ésima raiz índice n do número complexo dado.
A fórmula de Moivre da radiciação também é frequentemente designada por fórmula de Moivre generalizada.