função inversa

Se é uma função injetiva, qualquer que seja o valor de y do seu contradomínio existe um e um só valor de x do domínio de que tem y como imagem. Assim, a correspondência entre o contradomínio de e o domínio de , que a cada y do contradomínio de faz corresponder o x do domínio de , é unívoca, ou seja, é uma função. A esta nova função dá-se o nome de função inversa de , e representa-se por -¹. Simbolicamente,


Nota: representa o domínio de e o representa o contradomínio de .
Sendo -¹ a função inversa da função , o = e, reciprocamente, = .
A composição de uma função com a sua respetiva inversa (caso exista) é a função identidade. Com efeito, para todo o x ∈ bem como para todo o x ∈ .
Assim, para determinar o contradomínio de uma dada função, basta determinar o domínio da sua respetiva função inversa (caso exista).
Exemplo:
Dada a função real de variável real , caracterizada pela expressão e = \ caracterize a função -¹.
Seja então e explicitemos agora y como função de x, trocando assim os "papéis" das variáveis (y passa de imagem a objeto e x passa de objeto a imagem):

Nota: Repare que x é agora imagem e y é agora objeto. Convém trocá-los de funções devido ao hábito na sua utilização.
Então a função inversa de é caracterizada por e em que = \.
Relativamente ao gráfico de uma função inversa -¹ de uma função dada , podemos afirmar que é simétrico do gráfico de , em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, a reta de equação y = x. Com efeito, basta ter em conta que, ao trocarmos o objeto pela imagem e vice-versa, as coordenadas dos pontos do gráfico de passam de (x, y) para (y, x) como coordenadas do gráfico de -¹.
Exemplo:
Seja = x² para x ≥ 0 então -¹ (x) = .
Graficamente, teremos