geometria

Apesar do termo geometria derivar do grego geometrein, que significa medição da Terra (geo de terra, metrein de medição), os historiadores preferem atribuir a "criação" da geometria aos egípcios e caldeus, povos estes que já empregavam algumas fórmulas para o cálculo de áreas, volumes e outras dimensões, necessários na construção de templos e pirâmides, na determinação das dimensões de terrenos, no cálculo de distâncias entre dois pontos, no fabrico de ferramentas e utensílios, no auxílio à navegação, na astronomia, etc.
Também é certo que muitas outras civilizações antigas também já possuíam alguns conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilónia à China, passando pela civilização hindu, tendo-se descoberto, inclusivamente, que os hindus já conheciam uma demonstração do célebre teorema atribuído a Pitágoras.
No entanto, esta geometria era ainda uma ciência empírica, constituída por um conjunto de regras obtidas através de tentativas e erros e, acima de tudo, pela observação de casos particulares donde se construíam aproximações, impossibilitando, assim, a sua sistematização. Tal situação só se veio a inverter com os trabalhos de Tales de Mileto que provou que algumas propriedades das figuras geométricas podiam ser deduzidas de outras (séc. VI a. C.).
Com a escola dos pitagóricos nos séculos seguintes, ainda houve espaço para a intuição e a experimentação, mas "o papel principal" da construção do conhecimento geométrico foi tomado pela demonstração e pela dedução, onde Pitágoras deu um novo impulso à pesquisa de relações lógicas entre as proposições matemáticas.
Mais tarde, Platão evidencia, na sua escola, a necessidade de demonstrações rigorosas em detrimento definitivo da verificação experimental. Deve-se a Aristóteles, um frequentador assíduo da Academia de Platão, a divisão das proposições de qualquer ciência em dois tipos: as primárias e as secundárias. As primárias são aquelas que são aceites sem necessidade de prova por serem consideradas evidentes (axiomas) ou tomadas como verdadeiras (postulados). As secundárias são as proposições deduzidas das anteriores mediante um raciocínio lógico (teoremas).
Mas é, precisamente, com outro discípulo da escola platónica que esta nova conceção é exemplarmente desenvolvida (cerca de 300 anos a. C.): Euclides com a sua obra Elementos. Esta obra é constituída por 13 volumes, sendo parte destes baseada nos seus predecessores gregos, tais como os geómetras pitagóricos, em Eudóxio e Taeteto. No entanto, logo no início do seu primeiro livro, Euclides enuncia cinco postulados que constituem, assim, o fundamento de toda a sua obra, e que na sua extensão agrupa mais de 300 teoremas e 400 proposições. Os cinco postulados são os seguintes:
1.º - Dados dois pontos, pode traçar-se uma reta que passa por ambos;
2.º - Pode prolongar-se uma linha reta dada;
3.º - Dados dois pontos, pode traçar-se uma circunferência com centro num deles e que passe pelo outro;
4.º - Todos os ângulos retos são iguais;
5.º - Dadas duas retas num plano, se uma terceira reta transversal fizer
com elas ângulos internos do mesmo lado com soma inferior a dois
retos, então as duas primeiras retas intersetam-se desse lado.
A geometria, assente neste novo método axiomático, passou a designar-se por Geometria Euclidiana, em homenagem a tão grande geómetra. Esta nova forma de abordar a geometria viria a dominar inteiramente toda a construção do mundo geométrico até ao século XIX. Esse carácter único levou pensadores célebres a identificarem a nossa forma de ver o mundo e a nossa estrutura mental, de acordo com os resultados de Euclides. Por exemplo, Kant, o filósofo alemão, afirmou que a geometria euclidiana é própria da essência humana. No entanto, ao longo da História, o 5.º postulado causou alguma estranheza e desconforto. Ao comparar-se a complexidade do seu enunciado com a simplicidade de exposição dos quatro primeiros postulados, alguns geómetras convenceram-se de que o 5.º postulado poderia talvez ser demonstrado a partir dos restantes quatro. Matemáticos como Ptolomeu, Proclus, Wallis, entre outros, tentaram demonstrar o 5º postulado, a partir dos 4 primeiros, sem o conseguirem. Girolamo Saccheri, em 1697, também se enganou. Foi, no entanto, o primeiro a utilizar na sua demonstração a possibilidade da existência de triângulos cujos ângulos internos são maiores ou menores que 180º e a tentar derivar desse facto uma contradição.
No século XVIII, o francês Legendre conseguiu demonstrar que este axioma é equivalente a afirmar que: "A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos retos". No mesmo século, o matemático britânico John Playfair apresentou uma formulação equivalente do 5.º postulado mais simples do que a de Euclides: "Dada uma reta e dado um ponto exterior a ela, existe uma e uma só reta paralela à reta dada e passando pelo ponto dado". Poucos anos depois, Gauss, tal como todos os que o precederam, tentou derivar o axioma das paralelas a partir dos restantes quatro. Não o conseguindo após repetidos esforços, convenceu-se, por volta de 1817, de que este era independente dos restantes e começou a investigar as consequências de uma geometria em que o axioma das paralelas não fosse verificado. Então, o 5.º postulado, já designado por "Postulado das paralelas", passou a ser posto em causa, como axioma fundamental, dando origem a novas axiomáticas, designadas por isso de não-euclidianas:
A primeira das quais também designada por Geometria Hiperbólica foi criada independentemente por János Bolyai, matemático húngaro, e pelo russo Lobachevsky, substituiu o Postulado das Paralelas por:
"Por um ponto exterior a uma reta passa uma infinidade de linhas que lhe são paralelas."
Esta geometria também é caracterizada no modelo hiperbólico de Henry Poincaré (1854-1912), onde o conceito de linha não está associado ao de reta e as linhas paralelas não permanecem equidistantes, embora não se intersetem por serem assintóticas.
O alemão Bernhard Riemann, que criou uma outra geometria não-euclidiana (designada por Geometria Esférica) no âmbito da qual não existem retas paralelas, tendo, assim, substituído o 5.º postulado de Euclides por: "Por um ponto exterior a uma reta não passa nenhuma linha que lhe seja paralela."