números complexos

Podem ser definidos de três formas:
Algébrica: onde a e b são números reais e é a unidade imaginária.
Trigonométrica: ou abreviadamente, , onde, sendo (), e .
Exponencial: onde = 2,7182... é o número de Neper, com e , sendo ().
Ao contrário do que possa ser assumido, não foram as equações de segundo grau com o binómio discriminante negativo que motivaram o aparecimento dos números complexos. Os complexos não foram inicialmente aceites como números, e não havia sentido nem significado geométrico para justificar que existisse uma raiz quadrada de um número negativo. Foram, isso sim, as equações cúbicas estudadas pelos italianos Girolamo Cardano (1501-1576) em Ars Magna de Cardano, de 1545, e Rafael Bombelli (1526-1572) em L'Algebra de Bombelli, de 1572, que motivaram a utilização dos números complexos. É que foi encontrada uma dificuldade na aplicação do método de Cardano à resolução de uma equação do terceiro grau, em virtude de ter aparecido nessa resolução uma raiz quadrada de número negativo. Desde logo, surgiram dúvidas sobre a validade da fórmula de resolução para as equações cúbicas de Cardano, que viriam a ser desfeitas com a criação de um novo número, o número complexo.
O símbolo para a raiz quadrada de -1, introduzido pelo francês Albert Girard (1595-1632) em Invention novelle en L'Algebre de Girard, de 1629, só passou a ser representado pela letra i a partir de 1777, pelo suíço Leonhard Euler (1707-1783).
Foi René Descartes, em 1637, com a obra La Géométrie de Descartes, quem introduziu os termos parte real e parte imaginária.
A expressão "números complexos" foi usada pela primeira vez por Gauss (1831), que viria ainda a demonstrar o Teorema Fundamental da Álgebra - "toda a equação polinomial de grau n, admite exatamente n raízes reais ou complexas" - em 1798, mas já anteriormente conjeturado por Girard, Descartes e Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783).
Jean Robert Argand e Caspar Wessel, independentemente motivados pela geometria e pela topografia, representaram geometricamente, de maneira intuitiva e prática, os complexos como pontos (e como vetores) num plano cartesiano.
Gauss definiu então os números complexos na forma a + bi, onde a e b são números reais e i² = -1.
Hamilton definiu os complexos como o conjunto dos pares ordenados (vetores) (a, b), onde a e b são números reais, e associou a multiplicação (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i a uma operação envolvendo a rotação de vetores em torno da origem. E aferiu ainda que multiplicar por i envolve uma rotação de 90 graus, multiplicar por i² envolve uma rotação de 180 graus, multiplicar por i³ envolve uma rotação de 270 graus, etc.
Curiosamente, o significado geométrico dos números negativos surgiu com a representação geométrica dos complexos.
Euler, em 1748, formulou a Identidade de Euler , que deu significado aos logaritmos de números negativos, ou seja, os logaritmos de números negativos são números imaginários puros. Basta substituir na Identidade de Euler, θ = π e aplicar logaritmos "neperianos" a ambos os membros que vem:

Resta dizer que os números complexos têm aplicações práticas em campos tão diversos como:
- Aerodinâmica
- Eletrónica
- Eletricidade
- Teoria dos Fractais
- Meteorologia
- Economia
- Astronomia
- Biologia