polinómio

Um polinómio é uma expressão designatória formada pela soma de dois ou mais termos emx (a cada um dos termos isolados dá-se o nome de monómio). Um polinómio na variável x tem a forma . Os elementos a₀, a₁, ..., a_n são números reais e recebem o nome de coeficientes do polinómio e n é um expoente natural de x.

O valor de n identifica uma característica importante do polinómio que é o seu grau. Por exemplo, se n = 1 e a₀ ≠ 0 a expressão - - fica com a forma

a₀x¹ + a₁x⁰ ou seja a₀x + a₁

Temos assim um polinómio de grau 1. Se n = 2 o polinómio é de grau 2, etc. De notar que os valores dos restantes coeficientes podem ser, eventualmente, nulos. Por exemplo, e são dois polinómios do 3.º grau.

Os polinómios costumam ser escritos ordenando os termos segundo as potências crescentes ou segundo as potências decrescentes. Desta forma, não se escreve mas antes ou .

Quando os polinómios são formados por um, dois ou três termos, estamos na presença de um monómio, um binómio e um trinómio, respetivamente.

Dois polinómios e são iguais, qualquer que seja x, se e só se têm o mesmo grau e se os seus coeficientes homólogos são iguais. Assim, e são iguais se, e só se, a = 5, b = - 1 e c = 7.

Um polinómio é nulo, qualquer que seja x, se e só se todos os seus coeficientes são nulos.

Em geral, é possível efetuar operações elementares com polinómios. Para adicionar polinómios escrevem-se as parcelas umas a seguir às outras e depois reduzem-se os termos semelhantes, no caso de estes existirem (termos semelhantes são aqueles cuja parte literal é igual. Por exemplo, são semelhantes os termos 4x² e - 2x². Para reduzir termos semelhantes adicionam-se os seus coeficientes e mantém-se a parte literal de ambos). Desta forma, a adição de e dará origem ao seguinte:



A subtração pode ser vista como a adição do aditivo com o simétrico do subtrativo. Assim, para subtrair polinómios escreve-se o aditivo com os seus próprios sinais e a seguir o subtrativo com todos os seus sinais trocados (subtrair um polinómio equivale a subtrair cada um dos seus termos) e depois reduzem-se os termos semelhantes como na adição. Por exemplo, a subtração fica igual a



Para multiplicar polinómios entre si, multiplica-se cada termo de um polinómio por todos os termos do outro. Por exemplo:



A divisão efetua-se recorrendo a um algoritmo idêntico ao da divisão de inteiros naturais em que unidades, dezenas, centenas, ... são substituídas por monómios de grau 0, 1, 2, ... A operação para assim que o grau do resto seja inferior ao do divisor. Sendo assim, quando o grau do dividendo é inferior ao grau do divisor não é possível efetuar a divisão. Também não é possível dividir um polinómio qualquer pelo polinómio nulo.