probabilidade condicionada

A probabilidade condicionada de que A ocorra sabendo que B ocorreu (acontecimento não impossível), em que A e B são dois acontecimentos de uma mesma experiência aleatória (com um espaço de resultados Ω), é igual ao quociente entre a probabilidade conjunta dos acontecimentos A e B e a probabilidade de B, ou seja, simbolicamente,

Para determinar a probabilidade condicionada de que A ocorra sabendo que B ocorreu temos de fazer a contagem das ocorrências do acontecimento A entre aquelas ocorrências em que o acontecimento B se realizou (e não entre as ocorrências do espaço de resultados).
Ao supormos que se realizou o acontecimento B, podemos considerar um novo espaço de resultados, que será assim um espaço de resultados reduzido, ou seja, o próprio conjunto B. Dentro deste novo espaço de resultados, basta agora contarmos ocorrências do acontecimento A entre aquelas ocorrências em que o acontecimento B se realizou, ou seja, os elementos do conjuntoA ∩ B. Assim,

Se dividirmos ambos os membros da fração por , passamos a ter:

Donde podemos generalizar o cálculo da probabilidade condicionada de que A ocorra sabendo que B ocorreu através da expressão

Seja então, por exemplo, a experiência aleatória que consiste na extração de uma bola de uma urna em que estão 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Extraiu-se então uma bola da urna e verificou-se que o seu número é múltiplo de 5. Qual a probabilidade da bola extraída ser um número múltiplo de 3?
O espaço de resultados (ou espaço amostral) desta experiência é o conjunto .
Seja o acontecimento A: "saída de bola com um número múltiplo de 5";
Seja o acontecimento B: "saída de bola com um número múltiplo de 3".
Então,

Pelo que,

Logo, a probabilidade de ocorrer a saída de bola com um número múltiplo de 3, sabendo que já saiu uma bola numerada com um múltiplo de 5, é:
(o símbolo # representa o cardinal de um conjunto, ou seja, representa o número de elementos que constituem esse conjunto).
Por outro lado, se dividirmos ambos os membros da fração por (= 20), passamos a ter:

Note que

Pelo que
P(B A) ≠ P(B)
Usualmente, a P(B A) difere de P (B), uma vez que P(B A) é uma reavaliação da probabilidade de ocorrência do acontecimento B, tomando em consideração a informação antecipada da realização de A.