triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal, também designado por triângulo de Tartaglia, triângulo chinês ou triângulo combinatório, é uma figura composta por números que são dispostos em linhas de tal forma que a primeira linha é formada por um único número, a segunda por dois, a terceira por três e assim sucessivamente até ao infinito.
Estes números que constituem o triângulo de Pascal são os chamados números combinatórios que correspondem às combinações de zero, zero a zero C₀⁰, combinações de um, zero a zero C₀¹, etc. Combinações de n, k a k correspondem ao número de subconjuntos com k elementos que é possível formar a partir de um conjunto com n elementos e têm grande importância na teoria das probabilidades. Calculam-se da seguinte forma: em que n! (que se lê: "n fatorial" ou "fatorial de n") se determina multiplicando n por todos os números naturais inferiores a ele (n! = n x (n - 1) x ... x 3 x 2 x 1). De forma idêntica se determinam k! e (n - k)!). Na primeira linha escrevem-se, então, todas as combinações do número zero (que é apenas uma, C₀⁰), na segunda linha escrevem-se todas as combinações do número um (que são duas, C₀¹ e C₁¹), na terceira linha as combinações do número dois (que são três) e assim sucessivamente. O facto de cada linha ter sempre mais um elemento que a linha anterior associado a algumas das propriedades dos números combinatórios, nomeadamente, ; e levou a que fosse usual representar estes números em forma de triângulo como se mostra a seguir:



Calculando o valor das combinações até n = 4, temos que o triângulo fica



Note-se que, atendendo às propriedades dos números combinatórios anteriormente indicadas, se verifica que o primeiro e o último termos de cada linha têm sempre valor 1 e que qualquer termo que não seja extremo é igual à soma dos dois termos consecutivos localizados por cima dele na linha anterior. Por exemplo, o 2.º termo da 5.ª linha (que é 4) é igual à soma dos 1.º e 2.º termos da 4.ª linha (respetivamente 1 e 3). Desta forma, e por um processo de recorrência, é muito fácil ir construindo o triângulo de Pascal até à linha que se queira.