estado-providência ou estado-previdência?

A forma correta é estado-providência.

O elemento providência é usado no sentido de «assistência ou apoio». É um nome que designa «um sistema de organização social que assegura um padrão mínimo de vida através da oferta de serviços sociais em áreas como a educação, a saúde, etc.».

Previdência apesar de ter um sentido aproximado, não se usa nesta expressão.