mantém ou mantem?

A forma correta é mantém.

Os verbos derivados de ter, como manter, conter, deter ou obter, têm acento gráfico na última sílaba da terceira pessoa do presente do indicativo, quer no singular quer no plural:

      – Ele mantém a loja aberta. (acento agudo)
      – Eles mantêm os mesmos horários. (acento circunflexo)